100列不定積分 - 浅葱色の計算用紙

某積分サークルの10000マス積分をやってみました。ただし、めんどくさいので記事が重くなるので代入ゲーは省略しました。※不明が多いので情報募集中

以下、積分定数を\(C\)とする。また、筆者以外に協力者は存在しないものとする。

1. \( x \)

\( \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C \)

2. \( x^2+6x+2 \)

\( \int (x^2+6x+2) dx = \frac{1}{3} x^3 + 3x^2 + 2x + C \)

3. \( \sin{x} \)

\( \int \sin{x} dx = -\cos{x} + C \)

4. \( 5^x \)

\( \int 5^x dx = \frac{5^x}{\log{5}} + C \)

5. \(x\cos{x}\)

\( \begin{eqnarray} \int x\cos{x} dx &=& \int x(\sin{x})' dx \\ &=& x\sin{x} - \int \sin{x} dx \\ &=& x\sin{x} + \cos{x} + C \end{eqnarray} \)

6. \( \log{2x} \)

\( \begin{eqnarray} \int \log{2x} dx &=& \int (\log{x} + \log{2} ) dx \\ &=& x\log{x}-x+x\log{2} + C \end{eqnarray}\)

7. \( \sin{x}\cos{x} \)

\( \begin{eqnarray} \int \sin{x}\cos{x} dx &=& \int \frac{1}{2}\sin{2x} dx \\ &=& -\frac{1}{4}\cos{2x} + C \end{eqnarray}\)

8. \(\sqrt{x^2+5} \)
\( x=\sqrt{5}\mathrm{sin h}t \)とすると \( dx = \sqrt{5}\mathrm{cos h}t \)
また\( \mathrm{sin h}^2{t}+1=\mathrm{cos h}^2{t} \)であるから
\( \begin{eqnarray} \int \sqrt{x^2+5} dx &=& \int 5\mathrm{cos h}^2{t} dt \\ &=& 5 \int \frac{\mathrm{cos h} {2t}+1}{2} \\ &=& \frac{5}{2}t+\frac{5}{4}\mathrm{sin h}{2t}+C \\ &=& \frac{5}{2}t+\frac{5}{2}\mathrm{sin h}{t}\mathrm{cos h}{t}+C \\ &=& \frac{5}{2}\left(\mathrm{sin h}^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}} + \frac{x}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{x^2}{5}+1}\right) +C \\ &=& \frac{5}{2}\mathrm{sin h}^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+5} +C \end{eqnarray}\)
\( \mathrm{sin h}^{-1}{x} = \log{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} \)であるから
\( \int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{5}{2}\log{\left(\frac{x}{\sqrt{5}}+\sqrt{\frac{x^2}{5}+1}\right)} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+5}\)

9. \( x \sqrt{3x-5} \)
\( t=\sqrt{3x-5} \)とすると \( t^2=3x-5 \therefore x = \frac{t^2+5}{3}\) であるから \( dx = \frac{2}{3}tdt \)
よって
\(\begin{eqnarray} \int x \sqrt{3x-5} dx &=& \int \frac{t^2+5}{3}\cdot t \cdot \frac{2}{3}tdt \\ &=& \int \left( \frac{2}{9}t^4+\frac{10}{9}t^2 \right) dt \\ &=&\frac{2}{45}t^5+\frac{10}{27}t^3+C \\ &=& (3x-5)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{2}{45}(3x-5)+\frac{10}{27}\right)+C \\ &=& (3x-5)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{45}x+\frac{4}{27}\right)+C \end{eqnarray}\)

10. \(\sin{3x}\sin{5x}\)
\( \begin{eqnarray} \int \sin{3x}\sin{5x} dx &=& \frac{1}{2}\int(\cos{2x}-\cos{8x})dx \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin{2x}-\frac{1}{8}\sin{8x} \right)+C \\ &=& \frac{1}{16}(4\sin{2x}-\sin{8x})+C\end{eqnarray} \)

11. \( 3x^3+2x+1 \)

\( \int (3x^3+2x+1) dx = \frac{3}{4} x^4 + x^2 + x + C \)

12. \( xe^x \)

\( \begin{eqnarray} \int xe^x dx &=& \int x(e^x)' dx \\ &=& xe^x - \int e^x dx \\ &=& (x-1)e^x + C \end{eqnarray} \)

13. \( \log{3x} \)

\( \begin{eqnarray} \int \log{3x} dx &=& \int (\log{x} + \log{3} ) dx \\ &=& x\log{x}-x+x\log{3} + C \end{eqnarray}\)

14. \( 3^{x+2} \)

\( \begin{eqnarray} \int 3^{x+2} dx &=& 9 \int 3^x dx \\ &=& \frac{3^{x+2}}{\log{3}} + C \end{eqnarray}\)

15. \( \cos^3{x} \sin^2{x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \cos^3{x} \sin^2{x} dx &=& \int \cos{x} (\sin^2{x}-\sin^4{x}) dx \\ &=& \frac{1}{3}\sin^3{x} - \frac{1}{5} \sin^5{x} +C \end{eqnarray}\)

16. \( \tan^2{x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \tan^2{x} dx &=& \int \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}dx \\ &=& \int \left(\frac{1}{\cos^2{x}}-1\right)dx \\ &=& \tan{x}-x+C \end{eqnarray}\)

17. \( \log{(x^2-1)} \)
\( \begin{eqnarray} \int \log{(x^2-1)} dx &=& \int(\log{(x+1)}+\log{(x-1)}) dx \\ &=& (x+1)\log{(x+1)}-(x+1)+(x-1)\log{(x-1)}-(x-1)+C \\ &=& (x+1)\log{(x+1)}+(x-1)\log{(x-1)}-2x+C \end{eqnarray}\)

18. \(e^{2x}\)

\( \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}+C \)

番号不明. \( \frac{1}{1+x^2} \)?

\( \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x +C \)

番号不明. \( \cos{x^2} \) → \( (\cos{x})^2 \)に変更
\( \begin{eqnarray} \int (\cos{x})^2 dx &=& \int \frac{1+\cos{2x}}{2} dx \\&=& \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin{2x}+C \end{eqnarray}\)

番号不明. \(e^x\)?

\( \int e^x dx = e^x +C \)

39?. \(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)
\(x=\sin{\theta}\)とすると\(dx=\cos{\theta}d\theta\)であるから
\( \begin{eqnarray} \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx &=& \int \frac{\cos^2{\theta}}{\sin{\theta}} d\theta \\ &=& \int \frac{1-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}}d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{1}{\sin{\theta}}\right)d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{1-\cos^2{\theta}}\right)d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}\left(\frac{1}{1+\cos{\theta}}+\frac{1}{1-\cos{\theta}}\right)\right)d\theta \\ &=& \cos{\theta}-\frac{1}{2}\log{\frac{1+\cos{\theta}}{1-\cos{\theta}}} +C \\ &=& \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\log{\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}}+C\end{eqnarray}\)

24. \( e^xe^{e^x} \)?

\( \int e^xe^{e^x} dx = \int (e^{e^x})'e^{e^x} dx = e^{e^x} +C \)

情報が集まり次第更新します。

Special Thanks:

はなお