三角関数の加法定理の証明

問題: [1999東大改]

(1)複素数\(\theta\)に対して\(\sin{\theta}, \cos{\theta}\)の定義を述べよ.

(2) (1)で述べた定義にもとづき, 複素数\(\alpha,\beta\)に対して

\( \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}, \)

\( \cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \) を証明せよ.

解答:

(1)

\( \sin{\theta}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}{\theta}^{2k+1}}{(2k+1)!}} \)

\( \cos{\theta}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}{\theta}^{2k}}{(2k)!}} \)

(2)

\( \begin{eqnarray} \sin{(\alpha+\beta)}&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}{(\alpha+\beta)}^{2k+1}}{(2k+1)!}} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\sum_{l=0}^{2k+1}\alpha^l\beta^{2k+1-l}\ _{2k+1}C_{l} \right) }\end{eqnarray} \)

\( \begin{eqnarray} \sin{\alpha}\cos{\beta}&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\alpha^{2k+1}}{(2k+1)!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\beta^{2k}}{(2k)!}} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^l\alpha^{2l+1}}{(2l+1)!}\frac{(-1)^{(k-l)}\beta^{2k-2l}}{(2k-2l)!} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^k}{(2l+1)!}\frac{1}{(2k-2l)!} \alpha^{2l+1}\beta^{2k-2l} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \sum_{l=0}^{k}\frac{(2k-2l+2l+1)!}{(2l+1)!(2k-2l)!} \alpha^{2l+1}\beta^{2k-2l} \right)} \\&=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \sum_{l=0}^{k} \alpha^{2l+1}\beta^{2k-2l}\ _{2k+1}C_{2l+1} \right)} \end{eqnarray} \)

これは\(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\sum_{l=0}^{2k+1}\alpha^l\beta^{2k+1-l}\ _{2k+1}C_{l} \right) }\)において\(\alpha\)の奇数次の項のみを取り出したものである

\( \begin{eqnarray} \cos{\alpha}\sin{\beta}&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\beta^{2k+1}}{(2k+1)!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\alpha^{2k}}{(2k)!}} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^l\beta^{2l+1}}{(2l+1)!}\frac{(-1)^{(k-l)}\alpha^{2k-2l}}{(2k-2l)!} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^k}{(2l+1)!}\frac{1}{(2k-2l)!} \alpha^{2k-2l}\beta^{2l+1} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \sum_{l=0}^{k}\frac{(2k-2l+2l+1)!}{(2l+1)!(2k-2l)!} \alpha^{2k-2l}\beta^{2l+1} \right)} \\&=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \sum_{l=0}^{k} \alpha^{2k-2l}\beta^{2l+1}\ _{2k+1}C_{2l+1} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \sum_{l=0}^{k} \alpha^{2l}\beta^{2k-2l+1}\ _{2k+1}C_{2k-2l+1} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \sum_{l=0}^{k} \alpha^{2l}\beta^{2k-2l+1}\ _{2k+1}C_{2l} \right)} \end{eqnarray} \)

これは\(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\sum_{l=0}^{2k+1}\alpha^l\beta^{2k+1-l}\ _{2k+1}C_{l} \right) }\)において\(\alpha\)の偶数次の項のみを取り出したものである

よって

\( \begin{eqnarray} \sin{(\alpha+\beta)}= \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\sum_{l=0}^{2k+1}\alpha^l\beta^{2k+1-l}\ _{2k+1}C_{l} \right) } = \sin{\alpha}\cos{\beta}+ \cos{\alpha}\sin{\beta} \end{eqnarray} \)

\( \begin{eqnarray} \cos{(\alpha+\beta)}&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}{(\alpha+\beta)}^{2k}}{(2k)!}} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\sum_{l=0}^{2k}\alpha^l\beta^{2k-l}\ _{2k}C_{l} \right) }\end{eqnarray} \)

\(\begin{eqnarray} \cos{\alpha}\cos{\beta}&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\alpha^{2k}}{(2k)!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\beta^{2k}}{(2k)!}} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^l\alpha^{2l}}{(2l)!}\frac{(-1)^{(k-l)}\beta^{2k-2l}}{(2k-2l)!} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^k}{(2l)!}\frac{1}{(2k-2l)!} \alpha^{2l}\beta^{2k-2l} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k)!} \sum_{l=0}^{k}\frac{(2k-2l+2l)!}{(2l)!(2k-2l)!} \alpha^{2l}\beta^{2k-2l} \right)} \\&=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k)!} \sum_{l=0}^{k} \alpha^{2l}\beta^{2k-2l}\ _{2k}C_{2l} \right)} \end{eqnarray}\)

これは\( \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\sum_{l=0}^{2k}\alpha^l\beta^{2k-l}\ _{2k}C_{l} \right) }\)の偶数次の項のみを取り出したものである

\( \begin{eqnarray} \sin{\alpha}\sin{\beta}&=&\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\alpha^{2k+1}}{(2k+1)!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\beta^{2k+1}}{(2k+1)!}} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^l\alpha^{2l+1}}{(2l+1)!}\frac{(-1)^{(k-l)}\beta^{2k-2l+1}}{(2k-2l+1)!} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^k}{(2l+1)!}\frac{1}{(2k-2l+1)!} \alpha^{2l+1}\beta^{2k-2l+1} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+2)!} \sum_{l=0}^{k}\frac{(2l+1+2k-2l+1)!}{(2l+1)!(2k-2l+1)!} \alpha^{2l+1}\beta^{2k-2l+1} \right)} \\&=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^k}{(2k+2)!} \sum_{l=0}^{k} \alpha^{2l+1}\beta^{2k-2l+1}\ _{2k+2}C_{2l+1} \right)} \\ &=& \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(- \frac{(-1)^k}{(2k)!} \sum_{l=0}^{k - 1} \alpha^{2l+1}\beta^{2k-2l-1}\ _{2k}C_{2l+1} \right)} \end{eqnarray} \)

これは\( \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\sum_{l=0}^{2k}\alpha^l\beta^{2k-l}\ _{2k}C_{l} \right) }\)の奇数次の項のみを取り出したものの-1倍である

よって

\( \cos{(\alpha+\beta)} = \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \sum_{l=0}^{2k}\alpha^l \beta^{2k-l}\ _{2k}C_{l} \right) } = \cos{\alpha}\cos{\beta}- \sin{\alpha}\sin{\beta} \)