浅葱色の計算用紙

数学(広義)を扱っています。

全ての有理数が整数であることの証明

// // \( \newcommand \degree {^\circ} \) 問題: 全ての有理数が整数であることを証明せよ。 解答: (論証上重要な主張を太字で示した) 有理数を任意に取り\( \frac{q}{p} \) (ただし\( q \)は整数、\( p \)は正の整数)とおくと、これが整数であることを示せ…

離心率の一般化

// // 突然ですが、円の曲率を求めるにはどうすればよいでしょうか? 半径の逆数を取ればよいですね。簡単です。 では、円とは限らない曲線の曲率を求めるにはどうすればよいでしょうか? 曲線上の微小距離離れた3点を取って、その3点を通る円の曲率を求めれば…

オリオン座を横から見てみた

突然ですが、これはオリオン座です。 しかし何かがおかしいですね。まるでグラフ描画ソフトか何かで描いたような見た目になっています。 実際、これはGeogebraで描きました。α星~ζ星とκ星の位置を球座標から3次元直交座標に変換して、そこに点をプロットし…

10^6以上の実数

// // (これはホラー記事なので、適宜短調のBGMを聞きながら読んでください。) 昨日の記事は nichi.potaro.orgでした。 面白そうなのでもう少し踏み込んで勉強してみたいと思います。 さて、今日の日曜数学Advent Calendarは「10^6以上の実数を1つ投稿します…

JJJ(ジャバ・ジャバ・ジャバ)単位系

// // 架空のキャラクターの「強さ」が、力、エネルギー、仕事率のどれで表されているかはキャラクターによって異なり、それらを直接比較するのは困難である。 「空想科学読本」では、それらを比較するために次のような単位が導入されている: \( 120[\mathrm…

増税問題

// // この記事は、tsujimotterさんの「増税問題」の記事にインスパイアされました。 問題: \( 0 \leq \alpha \leq 1\)を満たす実数\( \alpha \)に対し、自然数の部分集合\( S_{\alpha} \)を以下で定義する: \( S_{\alpha} := \{ \lfloor(1+\alpha)n\rfloor …

ドディデの歌に対する歌詞の提案

(最初に「さあみんなでかなり過激なドレミの歌を歌いましょう」という台詞を入れてもよい) ドはドイツ語のド ディはディベヒ語のディ デはデンマーク語のデ ニは日本語のニ ネはネパール語のネ ヌはヌビア語のヌ ギはギリシャ語のギ ゲはゲエズ語のゲ グはグ…

53平均律に対する音名の提案

この記事で求めたように、53平均律は周波数の有理数比を高い精度で近似することができる。 しかし、私たちは53平均律になじみがない。 そこで、この記事では53平均律に存在する全ての音に対する名前を提案する。 一応ここで提案されてはいるものの、発音が日…

4重フ界

ここでは、十進法において6,7,8,9を使用せず、目(-4),ヨ(-3),ヲ(-2),¬(-1)を使用した場合の記数法およびその記数法を使用して行われる数学について考察する。以下、この基数法を「4重フ記法」と呼び、この基数法を使用している世界を「4重フ界」と呼ぶこと…

整数版連続関数

// // 突然ですが、これは実数値関数\( f \)が\( x=a \)で連続であることの定義です: \( \forall\ \varepsilon >0,\ \exists\ \delta>0 \ \forall\ x\ \left( \ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\ \right) \) 例として、\( y=2x \)が\( x=a…

最適な平均律を求めて

// // 問題(抽象的): 整数比を表すのに最適な平均律は何か? 試み: 各平均律について、その平均律で整数比を近似するとどれだけのずれが生じるかを求める。具体的には、以下の式の値を各\( n \)に対して求める: \( \displaystyle { \sum_{k=1}^{20} \mathrm{e…

有理数を2の冪で近似すること

まず、次の条件を満たす分数を考えます: ・分母と分子はともに9以下 ・既約である ・1以上2未満 この記事の目的は、「上の条件を満たす分数をよく近似できる音律を探そう」ということです。 そこで、条件を満たす分数を全てリストアップしましょう。 1/1, 3/…

100列不定積分

// // 某積分サークルの10000マス積分をやってみました。ただし、めんどくさいので記事が重くなるので代入ゲーは省略しました。※不明が多いので情報募集中 以下、積分定数を\(C\)とする。また、筆者以外に協力者は存在しないものとする。 1. \( x \) \( \int…

1X2X7X9

1X2X7X9(Xは自然数)の形をした素数の一覧です。 1020709(X=0)1222729(X=2)1424749(X=4)1626769(X=6)1727779(X=7)1828789(X=8)1102107109(X=10)1112117119(X=11)1122127129(X=12)1222227229(X=22)1312317319(X=31)1422427429(X=42)1522527529(X=52)1542547549…

そろばんで4乗根を計算する方法

注意: 非現実的 備忘録: (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 手順 (平方根や立方根にはないが4乗根には現れる操作は太字で強調した。) 0. 与えられた値をそろばんに入れる。 1. 初根を求め、その4乗を与えられた値から引く。 2. 初根の2倍をそろばんの左側…

階乗基表現

元ネタ: https 1!=12!=103!=1004!=1000……みたいな感じの表記法があるとして、10進法で表すのとこの表記法で表すのが同じになるような数が1以外にあるかな — 綿谷雫 (@kapt0nH) February 5, 2019 ://twitt https://twitter.com/kapt0nH/status/10928239264161…

n乗連分数展開

// // 整数aに対しα=a^(1/n)と定め、このαに対し次の操作を繰り返す: αの整数部分を取り出しこれをbとする 1/(α-b)^nを新しいαにする ここでは、a=1~100, n=2~5としたときに、bに面白いパターンがあるかどうかを調べる。 n=2 a=3, 45のときはゼロ除算が生じ…

センター試験数学C

// // この記事では0を自然数に含めることとします。 ネタバレ注意: この記事にはセンター試験の解法が含まれます。 問題(2019年数学ⅠA第3問を参考に一部改変): 赤い袋に2個の赤球と1個の白球、白い袋に1個の赤球と1個の白球が入っている。 0回目の操作では…

センター試験にはポン酢が合う(2019)

ネタバレ注意: この記事にはセンター試験の解法が含まれます。 今日はセンター試験がありました。 ところで、グレブナー基底にはポン酢が合います。 というわけで、この記事では2019年度大学入試センター試験数学ⅠA第5問をグレブナー基底で解きます。 問題(…

ビンゴ行列の行列式の最大値(理論編)

// // 前回の記事では、遺伝的アルゴリズムによりビンゴ行列の行列式の最大値を求めようとしましたが、ここでは数学的な観点から最大値を探してみようと思います。 以下、「行列式が最大になるようなビンゴ行列」を「最大ビンゴ行列」と呼ぶことにし、最大便…

ビンゴ行列の行列式の最大値

この記事は、以下の記事に対する第三者によるさらに深い考察です。 corollary2525.hatenablog.com 私は、ビンゴ行列の行列式の最大値を、遺伝的アルゴリズムで求めてみました。 条件は以下のようにしました。 ・世代数: 100 ・個体数: 500 ・次世代の選択方…

4枚7〜8桁の素数の別の覚え方

昨日の記事は83_kinokinoさんによる「家族で楽しむ素数大富豪」でした。 kinokomemo.hatenablog.com身近にプレイヤーがいると、強くなりやすいですね。私はこの記事から機械学習を連想しました。 このブログは、(皆さん既に覚えていると思いますが)4枚7~8桁…

57が合成数であることの証明

【問題】57は合成数であることを証明せよ。 【解答】57は2以上の整数なので、57は素数または合成数である。以下、57が合成数であるかどうかで場合分けする。 (i) 57が合成数の時 57は合成数なので、自明に57は合成数である。 (ii) 57が素数の時 まず、連続す…

素数日の一覧

2018年10月19日について、次の事実が成り立つ: 19は素数 1019は素数 181019は素数 20181019は素数 そこで、日付xyzw年mn月de日であって、de,mnde,zwmnde,xyzwmndeが全て素数があるものがどれだけあるかを調べた。 すると、1900年から2099年までの200年間で、…

三角関数の加法定理の証明

// // 問題: [1999東大改] (1)複素数\(\theta\)に対して\(\sin{\theta}, \cos{\theta}\)の定義を述べよ. (2) (1)で述べた定義にもとづき, 複素数\(\alpha,\beta\)に対して \( \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}, \) \( …

ポプテピピックで竹●房破壊

// // 【Aパート】 問題: 画面上に「ポ」「プ」「テ」「ピピック」が等確率でランダムに表示される。画面上に「ポプテピピック」の文字列が完成すると竹●房が破壊される。このとき、竹●房が破壊されるまでに画面に表示される文字数の期待値を求めよ。 解答…

ゴドマチ数え上げ(1)

一般に、最初の2つの図形が合同の時は定義より後手の勝ちであるから、最初の2つの図形が合同でないときのみを考えればよい。 よって、1単位マッチ、2単位マッチは自明(どちらも後手必勝)であるから、3単位マッチ以上を考えればよい。 3単位マッチ 非合同なト…

フィボナッチ数グラフ

// // 注意:この記事では、0は自然数に含まないものとします。 次の動画で、以下の問題が提起された: www.nicovideo.jp 問題: 全ての自然数に対して、それぞれに対応する頂点がちょうど1個存在するような(無限の大きさを持つ)グラフを考える。このグラフ…

円板の慣性モーメント

// // 問題: 半径\(R\)、質量\(M\)の円板の慣性モーメントを求めよ。ただし、回転軸は\(\mathbb{R^3}\)内の任意の直線をとりうるものとする。 解答: 求める慣性モーメントを\(I\)とする。 回転軸が中心を通らないとき、回転軸と中心との距離を\(d\)、回転…

JMO予選をグレブナー基底で解く

// // この記事では、2018年JMO予選6番をグレブナー基底で解こうと思います。 参考文献: #JMO#数オリ#JMO予選 pic.twitter.com/as4N5TgXGS — にゃんたろう@数ぽよ (@nyannyantarou00) 2018年1月8日 問題: 三角形ABCは直角二等辺三角形で、∠A=90°である。その…