n乗連分数展開

整数aに対しα=a^(1/n)と定め、このαに対し次の操作を繰り返す:

  αの整数部分を取り出しこれをbとする

  1/(α-b)^nを新しいαにする

ここでは、a=1~100, n=2~5としたときに、bに面白いパターンがあるかどうかを調べる。

n=2

a=3, 45のときはゼロ除算が生じ停止する。

30ステップ目までで停止しない中で最大のbを出力するものは

a=40 (b=6, 9, 4, 86, 2, 2, 4286474, 25, 5, 2, 16, 1, 3, 3, 1, 2279, 3, 277, 2, 1, 13, 1, 22, 38, 15, 1, 6, 2, 10, 1102)

であり、

 \( 6+\sqrt{\frac{1}{9+\sqrt{\frac{1}{4+\sqrt{\frac{1}{86+\sqrt{\frac{1}{2+\sqrt{\frac{1}{2}}}}}}}}}} = 6.32455532034286\cdots, \\ \left( 6+\sqrt{\frac{1}{9+\sqrt{\frac{1}{4+\sqrt{\frac{1}{86+\sqrt{\frac{1}{2+\sqrt{\frac{1}{2}}}}}}}}}} \right)^2 = 40.0000000000772 \cdots \)

が成り立つ。

これはほとんど整数とみなしてよいだろう。

n=3

特に大きな性質は見られないが、bの値が全体的にn=2のときより大きい。

n=3

特に大きな性質は見られないが、bの値が全体的にn=m=2のときより大きい。

n=4

ほとんど整数が確認された:

\( \left( 2+\sqrt[4]{\frac{1}{16829+\sqrt[4]{\frac{1}{36+\sqrt[4]{\frac{1}{509}}}}}} \right)^4 = 18.9999999999861 \cdots \)

n=5

ほとんど整数が確認された:

\( \left( 1+\sqrt[5]{\frac{1}{11+\sqrt[5]{\frac{1}{255+\sqrt[5]{\frac{1}{1418+\sqrt[5]{\frac{1}{1750+\sqrt[5]{\frac{1}{2}}}}}}}}}} \right)^4 = 10.99999999999999148 \cdots \)