【数理物理学】電流と漸化式
問題：図のような回路について、次の問いに答えよ：
(1)S1のみを閉じ、十分に時間がたった時、C1,C2に蓄えられた電気量Q1,Q2を求めよ。
(2)S1を開き、続いてS2を閉じたあと十分に時間がたった時、C2,C3に蓄えられた電気量Q1',Q2'を求めよ。
(3)S2を開き、続いてS1を閉じたあと十分に時間がたった時、C1,C2に蓄えられた電気量Q1'',Q2''を求めよ。
(4)「S1を閉じ十分に時間を経過させ、S1を開きS2を閉じ十分に時間を経過させS1を開く」操作を十分に多く繰り返したとき、最終的にC2に蓄えられる電気量Qを求めよ。
解答
(1)C1,C2にかかる電圧をそれぞれV1,V2とすると、P点での電気量保存によりQ1=Q2
また、「Q=CV」によりQ1=2V1,Q2=3V2よって2V1=3V2
また、V1+V2=5であるからV1=3,V2=2
よってQ1=Q2=6(C),,
(2)十分に時間がたつと電流が流れなくなるのでC2とC3の電圧が等しくなる。
このとき「Q=CV」により電圧が一定の時電気量は電気容量に比例するので
Q1'=6*3/5=3.6(C),, , Q2'=6*2/5=2.4(C),, //このとき電圧はともに1.2V
(3) (2)が終了した段階でC1に6C,C2に3.6C溜まっているので
P点での電気量保存より-6+3.6=-Q1''+Q2''・・・①
「Q=CV」よりC1,C2にかかる電圧をそれぞれV1'',V2''とすると
Q1''=2V1'', Q2''=3V2''・・・②
また V1''+V2''=5・・・③
②を①に代入して-2V1''+3V2''=-2.4・・・④
③④を連立させて解くとV1''=3.48,V2''=1.52
よってQ1''=6.96(C), Q2''=4.56(C),,
(4)コンデンサーに電気がたまっていない状態から操作をn回繰り返したときのC1,C2,C3に蓄えられる電気量を\( a_n,b_n,c_n \)とする。この状態でS1を閉じて十分に時間が経過した時のC2に蓄えられる電気量を\(d_{n+1}\)とする。
P点での電気量保存により
\(-a_n+b_n=-a_{n+1}+d_{n+1} \)・・・①
「Q=CV」よりC1,C2にかかる電圧をそれぞれ\( U,V \)とすると
\( a_{n+1}=2U, d_{n+1}=3V \)・・・②
また \( U+V=5 \)・・・③
②を①に代入して\( -2U+3V=-a_n+b_n \)・・・④
③④を連立させて解くと\( U=\frac{a_n-b_n+15}{5}, V=\frac{b_n-a_n+10}{5} \)
よって\(a_{n+1}=\frac{2a_n-2b_n+30}{5}, d_{n+1}=\frac{3b_n-3a_n+30}{5} \)
次に、ここからS1を開きS2を閉じ十分に時間を経過させると、
電流が流れなくなるのでC2とC3の電圧が等しくなる。
このとき「Q=CV」により電圧が一定の時電気量は電気容量に比例するので
\( c_{n+1}+d_{n+1} \)の電荷がC2とC3に3:2の比で分配される。
よって \( b_{n+1}=\frac{3}{5}(c_{n}+d_{n+1})=\frac{-9a_n+9b_n+15c_n+90}{25} \)
\( c_{n+1}=\frac{2}{5}(c_{n}+d_{n+1})=\frac{-6a_n+6b_n+10c_n+60}{25} \)
\( a_{n+1}-b{n+1}-c{n+1}=a_n-b_n-c_n \)であるから、\(a_n-b_n-c_n\)は定数数列であり\(a_0-b_0-c_0=0-0-0=0\)であるから\(a_n=b_n+c_n\)(追記:これはP点での電気量保存を示す)
このとき\(c_{n+1}=\frac{4c_n+60}{25}\)となるのでこれを\(c_0=0\)の下で解いて\(c_n=-\frac{20}{7}((\frac{4}{25})^n-1) \)
\( b_n=\frac{6c_n+90}{25}=\frac{6}{35}(25-4(\frac{4}{25})^n) \)
よって、\( \lim_{x\rightarrow\infty}b_n=\frac{6}{35}\times25=\underline{\frac{30}{7}(C),,} \)
