最大素数大富豪合成数問題
最大素数大富豪素数は99998888777766665555444433332222131313131313121212121111111011010101111であることが知られている。
ここでは、素数大富豪で出せる最大の合成数を求めることにする。
相手は考えない(54枚すべて使える)ものとし、ジョーカーは2ケタの数として使うものとする。すなわち、合成数は36桁となる。
上限
9で始まる36ケタの合成数が3個以上の素因数を持つとすると、(9は4枚しかないので)3個の素因数の上位桁は次のようである可能性がある(これ以外の場合、素因数の積はさらに小さくなる):
①9998..., 8..., 8...
②998..., 98..., 8...
③98..., 98..., 98...
①について、上位桁は10000×9×9=81000より小さいはずなので、9で始まることはなく不適
②について、上位桁は1000×100×9=90000より小さいはずなので、9で始まることはなく不適
③について、上位桁は99×99×99=970299より小さい。
よって、97以上で始まる36ケタの素数大富豪合成数が3個以上の素因数を持つことはありえないので、以下では素因数が2個の場合を考察する。
99で始まるもの
合成数の方で9をすでに2枚使っているので、素因数は次のようになる:
①998..., 8...
②98..., 98...
①について、上位桁は999×9=8991より小さいはずなので、99で始まることはなく不適
②について、上位桁は99×99=9801より小さいはずなので、99で始まることはなく不適
98で始まるもの
①9998..., 8... →9999×9=89991より不適
②998..., 98... →999×99=98901より適する
②(a) 98..., 98... →99×99=9801より適する
②(b) 98..., 8... →99×9=891より不適
よって2個の素因数はそれぞれ9[89]と98で始まる。
988で始まるもの
98...×98...は値が小さすぎるので2個の素因数は998と98で始まる
この段階で9と8を4枚ずつ使ってしまったので7の入り方について考えると
(7を使った後の数字の最大値は6であることに注意)
①99877776..., 986... →99877777×987=98579365899より不適
②9987776..., 9876... →9987777×9877=98649273429より不適
③998776..., 98776... →998777×98777=98656195729より不適
④99876..., 987776... →99877×987777=98656203429より不適
⑤9986..., 9877776... →9987×9877777=98649358899より不適
以上より、988で始まるものは存在しない。
987で始まるもの
7をすでに1枚使っているので、残りの7は3枚
998,98の後に8が来ないとすると
①9987776..., 986... →9987777×987=9857935899より不適
②998776..., 9876... →998777×9877=9864920429より不適
③99876..., 98776... →99877×98777=9865550429より不適
④9986..., 987776... →9987×987777=9864928899より不適
また、
①99887..., 987... →99888×988=98689344より不適
②9987..., 9887... →9988×9888=98761344より適する
このことから、2つの素因数の上4ケタは9987と9887であり、9877で始まるものは存在しない。
9876で始まるもの
9987...×9887...=9876...において7は残り1枚、6は残り3枚
①998776..., 98876...→998777×98877=98765073429より適する
②99876..., 988776...→99877×988777=98756080429より不適
