内角の分散
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まず、次のように3点をとっても一般性を失わないのでそのようにして考える：
確率密度関数が\( [0,2\pi) \) の範囲の一様分布であるような2つの独立な確率変数\( \theta, \varphi \)に対し、
\( (1,0), (\cos{\theta}, \sin{\theta}), (\cos{\varphi}, \sin{\varphi}) \)
このとき、この三角形の3つの内角はそれぞれ次のようになる。(実際の導出は\( \theta, \varphi , \pi \)の大小関係で分けて行う。
\( \theta < \varphi \)のとき
\( \frac{\varphi}{2}-\frac{\theta}{2}, \pi-\frac{\varphi}{2}, \frac{\theta}{2} \)
\( \theta \geq \varphi \)のとき
\( \frac{\theta}{2}-\frac{\varphi}{2}, \pi-\frac{\theta}{2}, \frac{\varphi}{2} \)
それぞれ分散を計算する。
どちらの場合も内角の平均は\(\frac{\pi}{3}\)であるから、
\( \theta < \varphi \)のとき
\( (分散)=\frac{1}{3} ( (\frac{\varphi}{2}-\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{3})^2+(\frac{2\pi}{3}-\frac{\varphi}{2})^2+(\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{3})^2) \)
\( =\frac{1}{18}(3\theta^2-3\theta\varphi+3\varphi^2-6\pi\varphi+4\pi^2) \)
同様に\( \theta \geq \varphi \)のとき
\( (分散)=\frac{1}{18}(3\theta^2-3\theta\varphi+3\varphi^2-6\pi\theta+4\pi^2) \)
よって、次の式で与えられる二変数関数を\( [0,2\pi)^2 \)の範囲で重積分すればよい：
\begin{eqnarray} \begin{cases}\frac{1}{18}(3\theta^2-3\theta\varphi+3\varphi^2-6\pi\varphi+4\pi^2) (\theta < \varphi) & \\\frac{1}{18}(3\theta^2-3\theta\varphi+3\varphi^2-6\pi\theta+4\pi^2) (\theta \geq \varphi) & \end{cases} \end{eqnarray}
まず、第四項以外は上下同じ式なのでその部分を重積分する：
\( \int _0 ^{2\pi} \int _0 ^{2\pi} (\frac{1}{18}(3\theta^2-3\theta\varphi+3\varphi^2+4\pi^2)) d\theta d\varphi \)
\( =\frac{1}{18}\int _0 ^{2\pi} [\theta^3-\frac{3}{2}\theta^2\varphi+(3\varphi^2+4\pi^2)\theta]_{\theta=0}^{\theta=2\pi} d\varphi \)
\( =\frac{\pi}{9}\int _0 ^{2\pi} (3\varphi^2-3\pi \varphi+8\pi^2) d\varphi \)
\( = 2\pi^4 \)
次に、第四項を重積分する：
\( -\frac{\pi}{3} (\int _0 ^{2\pi} \int _0 ^{\varphi} \varphi d\theta d\varphi + \int _0 ^{2\pi} \int _0 ^{\theta} \theta d\varphi d\theta )\)
\( =-\frac{2\pi}{3} \int _0 ^{2\pi} \int _0 ^y y dxdy \) (変数変換)
\( =-\frac{2\pi}{3} \int _0 ^{2\pi} y^2 dy \)
\( =-\frac {16} {9}\pi^4 \)
よって全体の重積分は
\( 2\pi^4 - \frac {16} {9}\pi^4 = \frac{2}{9}\pi^4 \)
よって分散の期待値は
\( \frac{\frac{2}{9}\pi^4}{(2\pi)^2}=\frac{\pi^2}{18} \)
