ド	ディ	デ	ニ	ネ	ヌ	ギ	ゲ	グ
レ	ケ	ル	ク	リ	キ	ム	コ	モ
ミ	ウ	メ	ミャ
ファ	パ	ヴァ	ダ	ヒ	ピ	フォ	ショ	チョ
ソ	ト	ゴ	ボ	ゾ	カ	ナ	マ	ヤ
ラ	タ	ワ	サ	セ	ツェ	ゼ	ジェ	テ
シ	ジ	ス	ズ

というわけで、53平均律の音名が完成してしまいました。

そこで、こんなものを提案します。

「53平均律のドレミの歌」 (a.k.a. ドディデの歌)

歌詞は絶賛募集中です。たぶん歌詞を作るだけでも相当難しいと思います。歌詞ができても実際に歌うことは推奨しません。

2019-08-25

4重フ界

ここでは、十進法において6,7,8,9を使用せず、目(-4),ヨ(-3),ヲ(-2),￢(-1)を使用した場合の記数法およびその記数法を使用して行われる数学について考察する。以下、この基数法を「4重フ記法」と呼び、この基数法を使用している世界を「4重フ界」と呼ぶことにする。

数える

0周辺の数は次のように表される。

...￢ヲ,￢￢,￢0,...,￢4,￢5,目,ヨ,ヲ,￢, 0 , 1,2,3,4,5,1目,1ヨ,1ヲ,1￢,10,11,...

足し算

これは4重フ界における足し算の表である。

+	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5
目	￢2	￢3	￢4	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1
ヨ	￢3	￢4	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2
ヲ	￢4	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3
￢	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4
0	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5
1	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5	1目
2	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5	1目	1ヨ
3	￢	0	1	2	3	4	5	1目	1ヨ	1ヲ
4	0	1	2	3	4	5	1目	1ヨ	1ヲ	1￢
5	1	2	3	4	5	1目	1ヨ	1ヲ	1￢	10

引き算

これは4重フ界における引き算の表である。

-	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5
目	0	1	2	3	4	5	1目	1ヨ	1ヲ	1￢
ヨ	￢	0	1	2	3	4	5	1目	1ヨ	1ヲ
ヲ	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5	1目	1ヨ
￢	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5	1目
0	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4	5
1	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3	4
2	￢4	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2	3
3	￢3	￢4	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1	2
4	￢2	￢3	￢4	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0	1
5	￢1	￢2	￢3	￢4	￢5	目	ヨ	ヲ	￢	0

掛け算

これは4重フ界における掛け算の表である。

×	目	ヨ	ヲ	￢	1	2	3	4	5
目	2目	12	1ヲ	4	目	￢2	￢ヲ	ヲ4	ヲ0
ヨ	12	1￢	1目	3	ヨ	￢4	￢1	￢ヲ	ヲ5
ヲ	1ヲ	1目	4	2	ヲ	目	￢4	￢2	￢0
￢	4	3	2	1	￢	ヲ	ヨ	目	￢5
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	目	ヨ	ヲ	￢	1	2	3	4	5
2	￢2	￢4	目	ヲ	2	4	1目	1ヲ	10
3	￢ヲ	￢1	￢4	ヨ	3	1目	1￢	12	15
4	ヲ4	￢ヲ	￢2	目	4	1ヲ	12	2目	20
5	ヲ0	ヲ5	￢0	￢5	5	10	15	20	25

通常の十進法の掛け算の表とはかなり異なるが、マイナス×マイナスがプラスであることがよくわかる表になっている。

複数桁の計算例については他の人に任せます。

2019-07-25

整数版連続関数

突然ですが、これは実数値関数\( f \)が\( x=a \)で連続であることの定義です:

\( \forall\ \varepsilon >0,\ \exists\ \delta>0 \ \forall\ x\ \left( \ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\ \right) \)

例として、\( y=2x \)が\( x=a \)で連続であることを示します:

任意の正の数\( \varepsilon \)に対して、\( \delta = \frac{\varepsilon}{3} \)とすると、\( |x-a| < \delta \)のとき\( a-\delta < x < a+\delta\)すなわち\( a-\frac{\varepsilon}{3} < x < a+\frac{\varepsilon}{3} \)であるから、この範囲の\(x\)に対し\( 2a-\frac{2\varepsilon}{3} < f(a-\varepsilon) < f(a) < f(a+\varepsilon) < 2a+\frac{2\varepsilon}{3} \)が成り立つので、\(f\)は\(x=a\)で連続である。(Quite Easily Done)

では、同じことを整数でやりましょう。

整数の場合も、\( y=2x \)は\( x=a \)で連続です。以下でこのことを示します:

任意の正の整数\( \varepsilon \)に対し、\( |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \) を満たすような正の整数\(\delta\)として\(\delta=1\)が取れるので、\( y=2x \)は\( x=a \)で連続である。(Quite Easily Done)

上の議論でお気づきかと思いますが、整数の場合は\(\delta=1\)と取ることで任意の関数が連続関数になります。

2019-07-16

最適な平均律を求めて

問題(抽象的):

整数比を表すのに最適な平均律は何か?

試み:

各平均律について、その平均律で整数比を近似するとどれだけのずれが生じるかを求める。具体的には、以下の式の値を各\( n \)に対して求める:

\( \displaystyle { \sum_{k=1}^{20} \mathrm{error}(n\log_{2}{k})^2 } \)

\( \mathrm{error}(x) = \mathrm{round}(x) - x \)

\( \mathrm{round}(x) \text{は} x \text{に最も近い整数} \)

実際に\(n=1,\cdots,100\)としてExcelで数値計算すると、次のグラフが得られた:

f:id:asangi_a4ac:20190716062806p:plain

また、値が小さい方から順に、

53, 77, 41, 94, 31, 46, 87, 24, 84, 72, 12, 89, ...

となった。

次に、各倍音をよく近似する平均律をリストにする:

3倍音

53, 94, 41, 12, 65, 82, 29, 24, 77, 70, 17, 36, ...

5倍音

59, 87, 28, 31, 90, 56, 3, 62, 84, 25, 34, 93, ...

7倍音

26, 83, 52, 57, 78, 31, 5, 21, 88, 47, 62, 73, ...

11倍音

37, 74, 98, 61, 24, 13, 50, 87, 85, 48, 11, 26, ...

つまり結局どれがいいんでしょう。

1つの倍音に注目すると他の倍音の精度が下がるので、トレードオフなのですね。

ちなみに、最初の式のΣの中を2乗ではなく絶対値にすると、こうなりました:

53, 41, 94, 77, 12, 87, 31, 65, 24, 46, 84, 22, ...

12平均律が上がってきていますね。2乗和にすると近似の悪い部分が強調されるので、12平均律は「精度の低い倍音が少ない」ということでしょうか。

もう53平均律でいいよ

2019-06-26

有理数を2の冪で近似すること

まず、次の条件を満たす分数を考えます:

・分母と分子はともに9以下

・既約である

・1以上2未満

この記事の目的は、「上の条件を満たす分数をよく近似できる音律を探そう」ということです。

そこで、条件を満たす分数を全てリストアップしましょう。

1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 7/6, 8/7, 9/7, 9/8

さて、これらすべてを近似できる音律はどんなものなのでしょうか。実際に構成していきましょう。以下では、1/1がC(ド)に対応するものとします。

といっても、さすがに何もないところからは始められないので十二平均律を基にして考えます。

十二平均律である程度近似できるもの

完全一度、完全八度

1/1はCに対するC、つまり完全一度です。どのような音律でも正確に再現できます。自明な音程と呼びたい

また、2/1は完全八度あるいはオクターブと呼ばれ、病的な音律を恣意的に作らなければどんな音律でも正確に再現されます。

完全五度、完全四度、長二度

3/2に対応するものは完全五度と呼ばれ、2^(7/12)で近似されます。

実際には3/2=2^(7.019.../12)なので、十分な近似と言えるでしょう。

3/2の逆数を取って2倍すると4/3になりますが、これは完全四度です。

4/3=2^(5.980.../12)となり、こちらもよい近似です。

また、(3/2)*(3/2)/2=9/8となりますが、これは長二度と呼ばれ、

9/8=2^(2.039.../12)が成り立ちます。

長三度、短三度、長六度、短六度、短七度

ここで、1.25が2の3乗根(=1.259921...)に近いことを思い出しましょう。

これは、5/4≒2^(4/12)を意味します。

実際には5/4=2^(3.863.../12)で、上で近似した分数よりも少し精度が下がっていることが分かります。

これは長三度ですが、逆数を取って2倍すると短六度になります:

8/5=2^(8.136.../12)

短六度を完全四度下げると(8/5÷4/3=6/5)、短三度が得られます:

6/5=2^(3.156.../12)

逆数を取って2倍すると長六度になります:

5/3=2^(8.843.../12)

さらに逆数を取って3倍すると短七度になります:

9/5=2^(10.175.../12)

長二度の逆数の2倍(16/9)も短七度と呼ばれ、実はこちらの方が2^(10/12)に近いです:

16/9=2^(9.960.../12)

Tritone(三全音)

12半音の音程の中で7/5に最も近い比率を作れるのは2^(6/12)=√2=1.414...です。

下側の音が何であるかによって増四度とも減五度とも呼ばれますが、英語ではこの両方をまとめてtritoneと呼ぶようです。

7/5=2^(5.825.../12)

十二平均律で近似できないもの

残りの分数は7/4, 7/6, 8/7, 9/7です。どれも7が入っていて嫌な予感しかしませんね。

これらの分数は2^(整数/12)で近似できると言い難いため、12半音とは別の音律が必要です。以下に示すとおり、これらの分数は2^(整数/36)でよく近似できます:

7/4=2^(29.064.../36)

7/6=2^(8.006.../36)

8/7=2^(6.935.../36)

9/7=2^(13.052.../36)

つまり、本当に必要だったのは24平均律ではなく36平均律だったのかもしれませんね。

2019-03-27

100列不定積分

某積分サークルの10000マス積分をやってみました。ただし、めんどくさいので記事が重くなるので代入ゲーは省略しました。※不明が多いので情報募集中

以下、積分定数を\(C\)とする。また、筆者以外に協力者は存在しないものとする。

1. \( x \)

\( \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C \)

2. \( x^2+6x+2 \)

\( \int (x^2+6x+2) dx = \frac{1}{3} x^3 + 3x^2 + 2x + C \)

3. \( \sin{x} \)

\( \int \sin{x} dx = -\cos{x} + C \)

4. \( 5^x \)

\( \int 5^x dx = \frac{5^x}{\log{5}} + C \)

5. \(x\cos{x}\)

\( \begin{eqnarray} \int x\cos{x} dx &=& \int x(\sin{x})' dx \\ &=& x\sin{x} - \int \sin{x} dx \\ &=& x\sin{x} + \cos{x} + C \end{eqnarray} \)

6. \( \log{2x} \)

\( \begin{eqnarray} \int \log{2x} dx &=& \int (\log{x} + \log{2} ) dx \\ &=& x\log{x}-x+x\log{2} + C \end{eqnarray}\)

7. \( \sin{x}\cos{x} \)

\( \begin{eqnarray} \int \sin{x}\cos{x} dx &=& \int \frac{1}{2}\sin{2x} dx \\ &=& -\frac{1}{4}\cos{2x} + C \end{eqnarray}\)

8. \(\sqrt{x^2+5} \)
\( x=\sqrt{5}\mathrm{sin h}t \)とすると \( dx = \sqrt{5}\mathrm{cos h}t \)
また\( \mathrm{sin h}^2{t}+1=\mathrm{cos h}^2{t} \)であるから
\( \begin{eqnarray} \int \sqrt{x^2+5} dx &=& \int 5\mathrm{cos h}^2{t} dt \\ &=& 5 \int \frac{\mathrm{cos h} {2t}+1}{2} \\ &=& \frac{5}{2}t+\frac{5}{4}\mathrm{sin h}{2t}+C \\ &=& \frac{5}{2}t+\frac{5}{2}\mathrm{sin h}{t}\mathrm{cos h}{t}+C \\ &=& \frac{5}{2}\left(\mathrm{sin h}^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}} + \frac{x}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{x^2}{5}+1}\right) +C \\ &=& \frac{5}{2}\mathrm{sin h}^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+5} +C \end{eqnarray}\)
\( \mathrm{sin h}^{-1}{x} = \log{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} \)であるから
\( \int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{5}{2}\log{\left(\frac{x}{\sqrt{5}}+\sqrt{\frac{x^2}{5}+1}\right)} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+5}\)

9. \( x \sqrt{3x-5} \)
\( t=\sqrt{3x-5} \)とすると \( t^2=3x-5 \therefore x = \frac{t^2+5}{3}\) であるから \( dx = \frac{2}{3}tdt \)
よって
\(\begin{eqnarray} \int x \sqrt{3x-5} dx &=& \int \frac{t^2+5}{3}\cdot t \cdot \frac{2}{3}tdt \\ &=& \int \left( \frac{2}{9}t^4+\frac{10}{9}t^2 \right) dt \\ &=&\frac{2}{45}t^5+\frac{10}{27}t^3+C \\ &=& (3x-5)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{2}{45}(3x-5)+\frac{10}{27}\right)+C \\ &=& (3x-5)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{45}x+\frac{4}{27}\right)+C \end{eqnarray}\)

10. \(\sin{3x}\sin{5x}\)
\( \begin{eqnarray} \int \sin{3x}\sin{5x} dx &=& \frac{1}{2}\int(\cos{2x}-\cos{8x})dx \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin{2x}-\frac{1}{8}\sin{8x} \right)+C \\ &=& \frac{1}{16}(4\sin{2x}-\sin{8x})+C\end{eqnarray} \)

11. \( 3x^3+2x+1 \)

\( \int (3x^3+2x+1) dx = \frac{3}{4} x^4 + x^2 + x + C \)

12. \( xe^x \)

\( \begin{eqnarray} \int xe^x dx &=& \int x(e^x)' dx \\ &=& xe^x - \int e^x dx \\ &=& (x-1)e^x + C \end{eqnarray} \)

13. \( \log{3x} \)

\( \begin{eqnarray} \int \log{3x} dx &=& \int (\log{x} + \log{3} ) dx \\ &=& x\log{x}-x+x\log{3} + C \end{eqnarray}\)

14. \( 3^{x+2} \)

\( \begin{eqnarray} \int 3^{x+2} dx &=& 9 \int 3^x dx \\ &=& \frac{3^{x+2}}{\log{3}} + C \end{eqnarray}\)

15. \( \cos^3{x} \sin^2{x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \cos^3{x} \sin^2{x} dx &=& \int \cos{x} (\sin^2{x}-\sin^4{x}) dx \\ &=& \frac{1}{3}\sin^3{x} - \frac{1}{5} \sin^5{x} +C \end{eqnarray}\)

16. \( \tan^2{x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \tan^2{x} dx &=& \int \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}dx \\ &=& \int \left(\frac{1}{\cos^2{x}}-1\right)dx \\ &=& \tan{x}-x+C \end{eqnarray}\)

17. \( \log{(x^2-1)} \)
\( \begin{eqnarray} \int \log{(x^2-1)} dx &=& \int(\log{(x+1)}+\log{(x-1)}) dx \\ &=& (x+1)\log{(x+1)}-(x+1)+(x-1)\log{(x-1)}-(x-1)+C \\ &=& (x+1)\log{(x+1)}+(x-1)\log{(x-1)}-2x+C \end{eqnarray}\)

18. \(e^{2x}\)

\( \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}+C \)

番号不明. \( \frac{1}{1+x^2} \)?

\( \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x +C \)

番号不明. \( \cos{x^2} \) → \( (\cos{x})^2 \)に変更
\( \begin{eqnarray} \int (\cos{x})^2 dx &=& \int \frac{1+\cos{2x}}{2} dx \\&=& \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin{2x}+C \end{eqnarray}\)

番号不明. \(e^x\)?

\( \int e^x dx = e^x +C \)

39?. \(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)
\(x=\sin{\theta}\)とすると\(dx=\cos{\theta}d\theta\)であるから
\( \begin{eqnarray} \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx &=& \int \frac{\cos^2{\theta}}{\sin{\theta}} d\theta \\ &=& \int \frac{1-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}}d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{1}{\sin{\theta}}\right)d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{1-\cos^2{\theta}}\right)d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}\left(\frac{1}{1+\cos{\theta}}+\frac{1}{1-\cos{\theta}}\right)\right)d\theta \\ &=& \cos{\theta}-\frac{1}{2}\log{\frac{1+\cos{\theta}}{1-\cos{\theta}}} +C \\ &=& \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\log{\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}}+C\end{eqnarray}\)

24. \( e^xe^{e^x} \)?

\( \int e^xe^{e^x} dx = \int (e^{e^x})'e^{e^x} dx = e^{e^x} +C \)

情報が集まり次第更新します。

Special Thanks:

はなお

クリぼっち達が集まった結果、10000マス積分という暇と頭脳を持て余した理系陰キャの遊びが生まれた。 pic.twitter.com/m8D365SiI1
— はなお 🍅 (@hanao87_0) December 24, 2018

10000マス積分

ますらばえでぃた

2019-03-23

1X2X7X9

1X2X7X9(Xは自然数)の形をした素数の一覧です。

1020709(X=0)
1222729(X=2)
1424749(X=4)
1626769(X=6)
1727779(X=7)
1828789(X=8)
1102107109(X=10)
1112117119(X=11)
1122127129(X=12)
1222227229(X=22)
1312317319(X=31)
1422427429(X=42)
1522527529(X=52)
1542547549(X=54)
1592597599(X=59)
1612617619(X=61)
1712717719(X=71)
1892897899(X=89)
1932937939(X=93)
1962967969(X=96)
1982987989(X=98)

なお、Xが3桁の場合は1つも素数になりません。なぜなら、1000200070009と100010001がどちらも7の倍数で、Xが3桁の時は1X2X7X9が必ずこの2つの数の整数倍の和として表されるからです。

ちなみに、X=1729でも素数になるみたいです。実際の素数大富豪で1つの素数のためだけに1729を4組も消費することはないと思いますが。

浅葱色の計算用紙

数学(広義)を扱っています。

53平均律に対する音名の提案

全音

半音と四分音

それ以外の音