整数版連続関数

突然ですが、これは実数値関数\( f \)が\( x=a \)で連続であることの定義です:

\( \forall\ \varepsilon >0,\ \exists\ \delta>0 \ \forall\ x\ \left( \ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\ \right) \)

例として、\( y=2x \)が\( x=a \)で連続であることを示します:

任意の正の数\( \varepsilon \)に対して、\( \delta = \frac{\varepsilon}{3} \)とすると、\( |x-a| < \delta \)のとき\( a-\delta < x < a+\delta\)すなわち\( a-\frac{\varepsilon}{3} < x < a+\frac{\varepsilon}{3} \)であるから、この範囲の\(x\)に対し\( 2a-\frac{2\varepsilon}{3} < f(a-\varepsilon) < f(a) < f(a+\varepsilon) < 2a+\frac{2\varepsilon}{3} \)が成り立つので、\(f\)は\(x=a\)で連続である。(Quite Easily Done)

では、同じことを整数でやりましょう。

整数の場合も、\( y=2x \)は\( x=a \)で連続です。以下でこのことを示します:

任意の正の整数\( \varepsilon \)に対し、\( |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \) を満たすような正の整数\(\delta\)として\(\delta=1\)が取れるので、\( y=2x \)は\( x=a \)で連続である。(Quite Easily Done)

上の議論でお気づきかと思いますが、整数の場合は\(\delta=1\)と取ることで任意の関数が連続関数になります。