整数版連続関数
突然ですが、これは実数値関数\( f \)が\( x=a \)で連続であることの定義です:
\( \forall\ \varepsilon >0,\ \exists\ \delta>0 \ \forall\ x\ \left( \ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\ \right) \)
例として、\( y=2x \)が\( x=a \)で連続であることを示します:
任意の正の数\( \varepsilon \)に対して、\( \delta = \frac{\varepsilon}{3} \)とすると、\( |x-a| < \delta \)のとき\( a-\delta < x < a+\delta\)すなわち\( a-\frac{\varepsilon}{3} < x < a+\frac{\varepsilon}{3} \)であるから、この範囲の\(x\)に対し\( 2a-\frac{2\varepsilon}{3} < f(a-\varepsilon) < f(a) < f(a+\varepsilon) < 2a+\frac{2\varepsilon}{3} \)が成り立つので、\(f\)は\(x=a\)で連続である。(Quite Easily Done)
では、同じことを整数でやりましょう。
整数の場合も、\( y=2x \)は\( x=a \)で連続です。以下でこのことを示します:
任意の正の整数\( \varepsilon \)に対し、\( |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \) を満たすような正の整数\(\delta\)として\(\delta=1\)が取れるので、\( y=2x \)は\( x=a \)で連続である。(Quite Easily Done)
上の議論でお気づきかと思いますが、整数の場合は\(\delta=1\)と取ることで任意の関数が連続関数になります。
最適な平均律を求めて
問題(抽象的):
整数比を表すのに最適な平均律は何か?
試み:
各平均律について、その平均律で整数比を近似するとどれだけのずれが生じるかを求める。具体的には、以下の式の値を各\( n \)に対して求める:
\( \displaystyle { \sum_{k=1}^{20} \mathrm{error}(n\log_{2}{k})^2 } \)
\( \mathrm{error}(x) = \mathrm{round}(x) - x \)
\( \mathrm{round}(x) \text{は} x \text{に最も近い整数} \)
実際に\(n=1,\cdots,100\)としてExcelで数値計算すると、次のグラフが得られた:
また、値が小さい方から順に、
53, 77, 41, 94, 31, 46, 87, 24, 84, 72, 12, 89, ...
となった。
3倍音
53, 94, 41, 12, 65, 82, 29, 24, 77, 70, 17, 36, ...
5倍音
59, 87, 28, 31, 90, 56, 3, 62, 84, 25, 34, 93, ...
7倍音
26, 83, 52, 57, 78, 31, 5, 21, 88, 47, 62, 73, ...
11倍音
37, 74, 98, 61, 24, 13, 50, 87, 85, 48, 11, 26, ...
つまり結局どれがいいんでしょう。
1つの倍音に注目すると他の倍音の精度が下がるので、トレードオフなのですね。
ちなみに、最初の式のΣの中を2乗ではなく絶対値にすると、こうなりました:
53, 41, 94, 77, 12, 87, 31, 65, 24, 46, 84, 22, ...
12平均律が上がってきていますね。2乗和にすると近似の悪い部分が強調されるので、12平均律は「精度の低い倍音が少ない」ということでしょうか。
もう53平均律でいいよ
有理数を2の冪で近似すること
まず、次の条件を満たす分数を考えます:
・分母と分子はともに9以下
・既約である
・1以上2未満
この記事の目的は、「上の条件を満たす分数をよく近似できる音律を探そう」ということです。
そこで、条件を満たす分数を全てリストアップしましょう。
1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 7/6, 8/7, 9/7, 9/8
さて、これらすべてを近似できる音律はどんなものなのでしょうか。実際に構成していきましょう。以下では、1/1がC(ド)に対応するものとします。
といっても、さすがに何もないところからは始められないので十二平均律を基にして考えます。
十二平均律である程度近似できるもの
完全一度、完全八度
1/1はCに対するC、つまり完全一度です。どのような音律でも正確に再現できます。自明な音程と呼びたい
また、2/1は完全八度あるいはオクターブと呼ばれ、病的な音律を恣意的に作らなければどんな音律でも正確に再現されます。
完全五度、完全四度、長二度
3/2に対応するものは完全五度と呼ばれ、2^(7/12)で近似されます。
実際には3/2=2^(7.019.../12)なので、十分な近似と言えるでしょう。
3/2の逆数を取って2倍すると4/3になりますが、これは完全四度です。
4/3=2^(5.980.../12)となり、こちらもよい近似です。
また、(3/2)*(3/2)/2=9/8となりますが、これは長二度と呼ばれ、
9/8=2^(2.039.../12)が成り立ちます。
長三度、短三度、長六度、短六度、短七度
ここで、1.25が2の3乗根(=1.259921...)に近いことを思い出しましょう。
これは、5/4≒2^(4/12)を意味します。
実際には5/4=2^(3.863.../12)で、上で近似した分数よりも少し精度が下がっていることが分かります。
これは長三度ですが、逆数を取って2倍すると短六度になります:
8/5=2^(8.136.../12)
短六度を完全四度下げると(8/5÷4/3=6/5)、短三度が得られます:
6/5=2^(3.156.../12)
逆数を取って2倍すると長六度になります:
5/3=2^(8.843.../12)
さらに逆数を取って3倍すると短七度になります:
9/5=2^(10.175.../12)
長二度の逆数の2倍(16/9)も短七度と呼ばれ、実はこちらの方が2^(10/12)に近いです:
16/9=2^(9.960.../12)
Tritone(三全音)
12半音の音程の中で7/5に最も近い比率を作れるのは2^(6/12)=√2=1.414...です。
下側の音が何であるかによって増四度とも減五度とも呼ばれますが、英語ではこの両方をまとめてtritoneと呼ぶようです。
7/5=2^(5.825.../12)
十二平均律で近似できないもの
残りの分数は7/4, 7/6, 8/7, 9/7です。どれも7が入っていて嫌な予感しかしませんね。
これらの分数は2^(整数/12)で近似できると言い難いため、12半音とは別の音律が必要です。以下に示すとおり、これらの分数は2^(整数/36)でよく近似できます:
7/4=2^(29.064.../36)
7/6=2^(8.006.../36)
8/7=2^(6.935.../36)
9/7=2^(13.052.../36)
100列不定積分
某積分サークルの10000マス積分をやってみました。ただし、めんどくさいので記事が重くなるので代入ゲーは省略しました。※不明が多いので情報募集中
以下、積分定数を\(C\)とする。また、筆者以外に協力者は存在しないものとする。
1. \( x \)
\( \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C \)
2. \( x^2+6x+2 \)
\( \int (x^2+6x+2) dx = \frac{1}{3} x^3 + 3x^2 + 2x + C \)
3. \( \sin{x} \)
\( \int \sin{x} dx = -\cos{x} + C \)
4. \( 5^x \)
\( \int 5^x dx = \frac{5^x}{\log{5}} + C \)
5. \(x\cos{x}\)
\( \begin{eqnarray} \int x\cos{x} dx &=& \int x(\sin{x})' dx \\ &=& x\sin{x} - \int \sin{x} dx \\ &=& x\sin{x} + \cos{x} + C \end{eqnarray} \)
6. \( \log{2x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \log{2x} dx &=& \int (\log{x} + \log{2} ) dx \\ &=& x\log{x}-x+x\log{2} + C \end{eqnarray}\)
7. \( \sin{x}\cos{x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \sin{x}\cos{x} dx &=& \int \frac{1}{2}\sin{2x} dx \\ &=& -\frac{1}{4}\cos{2x} + C \end{eqnarray}\)
8. \(\sqrt{x^2+5} \)
\( x=\sqrt{5}\mathrm{sin h}t \)とすると \( dx = \sqrt{5}\mathrm{cos h}t \)
また\( \mathrm{sin h}^2{t}+1=\mathrm{cos h}^2{t} \)であるから
\( \begin{eqnarray} \int \sqrt{x^2+5} dx &=& \int 5\mathrm{cos h}^2{t} dt \\ &=& 5 \int \frac{\mathrm{cos h} {2t}+1}{2} \\ &=& \frac{5}{2}t+\frac{5}{4}\mathrm{sin h}{2t}+C \\ &=& \frac{5}{2}t+\frac{5}{2}\mathrm{sin h}{t}\mathrm{cos h}{t}+C \\ &=& \frac{5}{2}\left(\mathrm{sin h}^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}} + \frac{x}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{x^2}{5}+1}\right) +C \\ &=& \frac{5}{2}\mathrm{sin h}^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+5} +C \end{eqnarray}\)
\( \mathrm{sin h}^{-1}{x} = \log{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)} \)であるから
\( \int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{5}{2}\log{\left(\frac{x}{\sqrt{5}}+\sqrt{\frac{x^2}{5}+1}\right)} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+5}\)
9. \( x \sqrt{3x-5} \)
\( t=\sqrt{3x-5} \)とすると \( t^2=3x-5 \therefore x = \frac{t^2+5}{3}\) であるから \( dx = \frac{2}{3}tdt \)
よって
\(\begin{eqnarray} \int x \sqrt{3x-5} dx &=& \int \frac{t^2+5}{3}\cdot t \cdot \frac{2}{3}tdt \\ &=& \int \left( \frac{2}{9}t^4+\frac{10}{9}t^2 \right) dt \\ &=&\frac{2}{45}t^5+\frac{10}{27}t^3+C \\ &=& (3x-5)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{2}{45}(3x-5)+\frac{10}{27}\right)+C \\ &=& (3x-5)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{45}x+\frac{4}{27}\right)+C \end{eqnarray}\)
10. \(\sin{3x}\sin{5x}\)
\( \begin{eqnarray} \int \sin{3x}\sin{5x} dx &=& \frac{1}{2}\int(\cos{2x}-\cos{8x})dx \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin{2x}-\frac{1}{8}\sin{8x} \right)+C \\ &=& \frac{1}{16}(4\sin{2x}-\sin{8x})+C\end{eqnarray} \)
11. \( 3x^3+2x+1 \)
\( \int (3x^3+2x+1) dx = \frac{3}{4} x^4 + x^2 + x + C \)
12. \( xe^x \)
\( \begin{eqnarray} \int xe^x dx &=& \int x(e^x)' dx \\ &=& xe^x - \int e^x dx \\ &=& (x-1)e^x + C \end{eqnarray} \)
13. \( \log{3x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \log{3x} dx &=& \int (\log{x} + \log{3} ) dx \\ &=& x\log{x}-x+x\log{3} + C \end{eqnarray}\)
14. \( 3^{x+2} \)
\( \begin{eqnarray} \int 3^{x+2} dx &=& 9 \int 3^x dx \\ &=& \frac{3^{x+2}}{\log{3}} + C \end{eqnarray}\)
15. \( \cos^3{x} \sin^2{x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \cos^3{x} \sin^2{x} dx &=& \int \cos{x} (\sin^2{x}-\sin^4{x}) dx \\ &=& \frac{1}{3}\sin^3{x} - \frac{1}{5} \sin^5{x} +C \end{eqnarray}\)
16. \( \tan^2{x} \)
\( \begin{eqnarray} \int \tan^2{x} dx &=& \int \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}dx \\ &=& \int \left(\frac{1}{\cos^2{x}}-1\right)dx \\ &=& \tan{x}-x+C \end{eqnarray}\)
17. \( \log{(x^2-1)} \)
\( \begin{eqnarray} \int \log{(x^2-1)} dx &=& \int(\log{(x+1)}+\log{(x-1)}) dx \\ &=& (x+1)\log{(x+1)}-(x+1)+(x-1)\log{(x-1)}-(x-1)+C \\ &=& (x+1)\log{(x+1)}+(x-1)\log{(x-1)}-2x+C \end{eqnarray}\)
18. \(e^{2x}\)
\( \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}+C \)
番号不明. \( \frac{1}{1+x^2} \)?
\( \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x +C \)
番号不明. \( \cos{x^2} \) → \( (\cos{x})^2 \)に変更
\( \begin{eqnarray} \int (\cos{x})^2 dx &=& \int \frac{1+\cos{2x}}{2} dx \\&=& \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin{2x}+C \end{eqnarray}\)
番号不明. \(e^x\)?
\( \int e^x dx = e^x +C \)
39?. \(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)
\(x=\sin{\theta}\)とすると\(dx=\cos{\theta}d\theta\)であるから
\( \begin{eqnarray} \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx &=& \int \frac{\cos^2{\theta}}{\sin{\theta}} d\theta \\ &=& \int \frac{1-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}}d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{1}{\sin{\theta}}\right)d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{1-\cos^2{\theta}}\right)d\theta \\ &=& \int\left(-\sin{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}\left(\frac{1}{1+\cos{\theta}}+\frac{1}{1-\cos{\theta}}\right)\right)d\theta \\ &=& \cos{\theta}-\frac{1}{2}\log{\frac{1+\cos{\theta}}{1-\cos{\theta}}} +C \\ &=& \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\log{\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}}+C\end{eqnarray}\)
24. \( e^xe^{e^x} \)?
\( \int e^xe^{e^x} dx = \int (e^{e^x})'e^{e^x} dx = e^{e^x} +C \)
情報が集まり次第更新します。
Special Thanks:
はなお
クリぼっち達が集まった結果、10000マス積分という暇と頭脳を持て余した理系陰キャの遊びが生まれた。 pic.twitter.com/m8D365SiI1
— はなお 🍅 (@hanao87_0) December 24, 2018
10000マス積分
ますらばえでぃた
1X2X7X9
1020709(X=0)
1222729(X=2)
1424749(X=4)
1626769(X=6)
1727779(X=7)
1828789(X=8)
1102107109(X=10)
1112117119(X=11)
1122127129(X=12)
1222227229(X=22)
1312317319(X=31)
1422427429(X=42)
1522527529(X=52)
1542547549(X=54)
1592597599(X=59)
1612617619(X=61)
1712717719(X=71)
1892897899(X=89)
1932937939(X=93)
1962967969(X=96)
1982987989(X=98)
なお、Xが3桁の場合は1つも素数になりません。なぜなら、1000200070009と100010001がどちらも7の倍数で、Xが3桁の時は1X2X7X9が必ずこの2つの数の整数倍の和として表されるからです。
ちなみに、X=1729でも素数になるみたいです。実際の素数大富豪で1つの素数のためだけに1729を4組も消費することはないと思いますが。
そろばんで4乗根を計算する方法
注意: 非現実的
備忘録: (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
手順
(平方根や立方根にはないが4乗根には現れる操作は太字で強調した。)
0. 与えられた値をそろばんに入れる。
1. 初根を求め、その4乗を与えられた値から引く。
2. 初根の2倍をそろばんの左側に置く。
(3.以下は必要な桁数分だけ繰り返す)
3. 左側に置かれている数で余りを2回割る。
3a. 10^nの位を求めたいときに割る桁数は、1回目は余りの10^(4n+1)の位まで、2回目は10^(4n+2)の位まで割る。
4. 2回割った商を既根で割り、その商(1桁)を次根とする。
5. (既根+次根)×次根を2回割った商から引く。
5a. 引けない場合は仮商修正と同様の方法で次根を1小さくする。
6. 次根の2乗の半分を2回割った商から引く。
6a. 引けない場合は(既根+次根)+(次根+1)を足すことで仮商修正を行う。
7. 2回割った商の残りを左側に置かれている数で掛けてその結果を1回割った商に足す(掛け戻し)。
8. 次根の3乗の2倍を1回割った商(に掛け戻し分を足したもの)から引く。
8a. 引けない場合は2回割った商として(既根+次根)+(次根×2+1)+1/2を追加し、これで再び掛け戻しを行う。
9. 1回割った商の残りを左側に置かれている数で掛けてその結果を余りに足す(掛け戻し)。
10. 次根の4乗を余りから引く。引けない場合は次のステップを実行する。
10a. 2回割った商として(既根+次根)+(次根×2+1)+1/2を追加し、これで再び1回割った商への掛け戻しを行う。
10b. 1回割った商に(次根)×(次根+1)×6+2を足し、これで再び余りへの掛け戻しを行う。
11. 次根の2倍を左側に置かれている数に追加する。
注意: 5,6の手順は2回割った商の10の位を一の位とみなして計算する。
注意: この手順では小数が出てくるため、そろばん上に値を入れることが不可能になる可能性がある。しかし、小数が生じるのは2回割った商のみ、それも小数以下は.0か.5しかないので、小数が生じたかどうかという情報を覚えておけばよい。また、覚えておかなくてもそろばんのどこかに1bit分の情報を持たせることは可能であろう。
具体例.
(1) 1677万7216の4乗根
1. 1296=6^4<=1677<7^4=2401であるから、初根に6が立ち、余りは381万7216となる。
2. 左側に12を置く。
3. 2回割った後の値は2650余り10余り1となる。
4. 265÷6の最初の桁は4であるから、次根を4とする。
5. 265から64×4を引く。残りは9である。
6. 16の半分の8を引く。残りは1である。
7. 掛け戻す。(1*10+0)*12+10=130が得られる。
8. 4^3*2=128を引く。残りは2である。
9. 掛け戻す。2*12+1=25が得られる。
10. 4^4=256を引く。余りがなくなったので終了する。
よって、1677万7216の4乗根は64である。
(2) 70万7281の4乗根
1. 16=2^4<=70<3^4=81であるから、初根に2が立ち、余りは54万7281となる。
2. 左側に4を置く。
3. 2回割った後の値は3420余り2余り0となる。
4. 342÷2の最初の桁は1であるが、これは100の位に立つ1であるから、次根を9とする。
5. 342から29×9を引く。残りは81である。
6. 81の半分の40.5を引く。残りは40.5である。
7. 掛け戻す。(40.5*10+0)*4+2=1622が得られる。
8. 9^3*2=1458を引く。残りは164である。
9. 掛け戻す。164*4+0=656が得られる。
10. 9^4=6561を引く。余りがなくなったので終了する。
よって、70万7281の4乗根は29である。
(3) 1055万6001の4乗根
1. 625=5^4<=1055<6^4=1296であるから、初根に5が立ち、余りは430万6001となる。
2. 左側に10を置く。
3. 2回割った後の値は4306余り0余り0となる。
4. 430÷5の最初の桁は8であるから、次根を8とする。
5. 430から58×8を引く。5×8は引けるが8×8は引けないので、修正する。
5a. 次根を7にして5を戻す。残りは31である。
6. 49の半分の24.5を引く。残りは6.5である。
7. 掛け戻す。(6.5*10+6)*10+0=710が得られる。
8. 7^3*2=686を引く。残りは24である。
9. 掛け戻す。24*10+0=240が得られる。
10. 7^4=2401を引く。余りがなくなったので終了する。
よって、1055万6001の4乗根は57である。
階乗基表現
元ネタ: https
1!=1
— 綿谷雫 (@kapt0nH) February 5, 2019
2!=10
3!=100
4!=1000
……
みたいな感じの表記法があるとして、10進法で表すのとこの表記法で表すのが同じになるような数が1以外にあるかな
://twitt
https://twitter.com/kapt0nH/status/1092823926416142336
er.com/kapt0nH/status/1092823926416142336
https://twitter.com/kapt0nH/status/1092823926416142336
問題: 階乗基表現と十進表記が等しくなるような自然数を全て求めよ。
解答:
1が条件を満たすことは自明である。
ある数nに対して十進表記が階乗基表現よりも「長大である」ことを次のように定義する:
(nの十進表記の桁数がnの階乗基表現の桁数より大きい)
または
(
(nの十進表記の桁数がnの階乗基表現の桁数と等しい)
かつ
(ある自然数mが存在して、
(nの十進表記と階乗基表現の上m-1桁が等しい)かつ(nの十進表記の上からm桁目は階乗基表現の上からm桁目より大きい)
)
)
また、階乗基表現が十進表記よりも「長大である」とは、十進表記が階乗基表現よりも長大でないかつ階乗基表現が十進表記と等しくないことである。
1以外の数に対して上限と下限を調べる。
n!~(n+1)!が十進表記でm~m+k桁の範囲を取るとすると、m+k<nであれば、階乗基表現が十進表記よりも長大であるため、この範囲には条件を満たす範囲は存在しない。
また、m>nであれば、十進表記が階乗基表現よりも長大であるため、この範囲には条件を満たす範囲は存在しない。
実際に計算すると、2!以上18!以下および25!以上では条件を満たす数が存在しないことがわかる。
例えば、n=17のとき、17!=355687428096000(15桁), 18!=6402373705728000(16桁)であるから、階乗基表現が長大である。
よって、18!<x<25!の範囲のxを調べればよい。
(a) 18!<x<19!
十進表記が18桁になるためには、10^17/18!>15であることからxは15*18!以上である必要があるが、このとき階乗基表現は最上位桁が16以上になるため、階乗基表現の方が長大である。
(b) 19!<=x<20!
十進表記が19桁になるためには、10^18/19!>8.2であることからxは8*18!以上である必要がある。したがって、十進表記と階乗基表現が一致するためには、十進表記の最上位桁が8である必要があるが、20!=2432902008176640000であるため、条件を満たすxは存在しない。
(c) 20!<=x<21!
十進表記が20桁になるためには、10^19/20!>4.1であることからxは4*19!以上である必要がある。したがって、十進表記と階乗基表現が一致するためには、十進表記の最上位桁が4以上である必要があるが、21!=51090942171709440000であるため、最上位桁が4または5で確定する。
このとき、階乗基表現の最上位が5であることから、4*20!<=x<6*20!である。しかし、
4*20!=9731608032706560000
6*20!=14597412049059840000
より、xの10^19の位を5にすることは出来ない。したがって、条件を満たすxは存在しない。
(d) 21!<=x<22!
十進表記が21桁になるためには、10^20/21!>1.9であることからこの議論では最上位桁を制限することはできない。
(c)と同様の議論により最上位桁を考えると、最上位桁をyとした場合に
y*10^20<=y*19!<(y+1)*10^20
が成り立つ必要がある。
これが成り立つyはy=1のみであるから、xの最上位桁は1となる。
また、2*21!=102181884343418880000であるから、上から2桁目は0で確定する。
しかし、1*21!+1*20!=53523844179886080000<10^20であるから、条件を満たすxは存在しない。
(e)22!<=x<23!
理論だけで計算するのは面倒なのでバックトラッキングを使用したプログラムを書き、全区間の探索を行った。その結果、解が存在しないことがわかった。
(f)23!<=x<24!
4*23!>10^23であるから、xの最上位桁は1,2,3のどれかであるが、2*23!>5*10^22であるため、xの最上位桁は1でなければならない。
しかし、このとき23!>2.5*10^22であるため、条件を満たすxは存在しない。
(g)24!<=x<25!
2*24!>10^24であるから、xの最上位桁は1と定まるが、24!>6*10^23であるため、条件を満たすxは存在しない。
以上より、条件を満たすxはx=1のみであることがわかった。
