浅葱色の計算用紙

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57が合成数であることの証明

【問題】57は合成数であることを証明せよ。

 

【解答】57は2以上の整数なので、57は素数または合成数である。以下、57が合成数であるかどうかで場合分けする。

 

(i) 57が合成数の時

57は合成数なので、自明に57は合成数である。

 

(ii) 57が素数の時

まず、連続する3整数57,58,59について考える。

連続する3整数の積は6の倍数なので、57*58*59は6の倍数である。

仮定より、57,59はともに2とも3とも異なる素数であるから、57と59は2の倍数でも3の倍数でもない。

したがって、58は2の倍数かつ3の倍数、すなわち6の倍数である。

よって、60-58=2は6の倍数である。 (∵6の倍数同士の差は6の倍数)

2が6の倍数なので、6k=2となる整数kが存在する。

このkは0<k<1, 3k=1を満たす。

ここで、1以上の整数nを任意に取ると、n=n*1=n*(3k)=k*(3n)と表され、

0<k<1よりkは±1でも±nでもないので、kはnの非自明な約数である。

よって、nには非自明な約数が存在するので、nは合成数である。

とくにn=57とすると、57は合成数である。

 

以上(i)(ii)より、57が合成数であっても素数であっても57が合成数であることが示されたので、57は合成数である。 (Q.E.D.)