放物線の共通接線
問題:「２次の係数の符号が異なる２つの放物線の共通接線は何本あるか？」
２次の係数が正であるほうの放物線をC1、２次の係数が負であるほうの放物線をC2とする。
放物線の内側から接線を引くことはできない、すなわち、放物線の接線は内側を通らない。
(i)放物線が交わるとき
共通接線が存在すると仮定する。
(a)接点がPとQの間にあるとき
接点が片方の放物線の内側にあることになり、放物線の内側に接線がないことに矛盾
(b)C1側の接点がPより左にあり、C2側の接点がQより右にあるとき
PとQの間を通るx軸に垂直な直線L(図中の緑)を考えると、L上の全ての点はC1またはC2の内側にある。
接線は２つの接点を通る直線なので、 この接線は必ずLと交わるが、これは接線が放物線の内側を通らないことと矛盾
また、C1側の接点がQより右にあり、C2側の接点がPより左にあるときも同様に矛盾する。
(c)C1,C2側の接点がともにPより左にあるとき
平均値の定理より、線分PQと同じ傾きを持つC1の接線がPとQの間に存在する。
この傾きをmとすると、C1は下に凸なので傾きは単調増加、よって共通接線の傾きをxとするとx<m・・・①
同様に、線分PQと同じ傾きを持つC2の接線がPとQの間に存在し、C2は上に凸なので傾きは単調減少、よってx>m・・・②
①②は同時には成り立たないので矛盾
また、C1,C2側の接点がともにQより右にあるときも同様に矛盾する。
以上より、共通接線が存在すると仮定してどのような場合でも矛盾が生じたので、共通接線は存在しない。
(ii)放物線が接するとき
「接する」の定義より、接点Pで１本共通接線(図中の赤)(これをNとする)が引ける。以下、これ以外に共通接線(これをMとする)が存在すると仮定して矛盾を導く。
(a)C1側の接点がPより左にあり、C2側の接点がPより右にあるとき
Pを通るx軸に垂直な直線L(図中の緑)を考えると、L上のPでない全ての点はC1またはC2の内側にある。
接線は２つの接点を通る直線であり、 この接線は必ずLと交わる。
MとLとの交点がPでないとすると、Mは放物線の内側を通ることになり矛盾
MとLとの交点がPであるとすると、MはC1とPで交わるが、放物線と接線の交点は接点のみなのでこのときMはPで接していることになりMはNとと一致し、接点がPより左側にあることに矛盾
また、C1側の接点がPより右にあり、C2側の接点がPより左にあるときも同様に矛盾する。
(b)C1,C2側の接点がともにPより左にあるとき
Nの傾きをmとし、Mの傾きをxとすると
C1は下に凸なので傾きは単調増加、よってx<m・・・①
C2は上に凸なので傾きは単調減少、よってx>m・・・②
①②は同時には成り立たないので矛盾
また、C1,C2側の接点がともにPより右にあるときも同様に矛盾する。
以上より、N以外に共通接線が存在すると仮定してどのような場合でも矛盾が生じたので、共通接線は存在しない。
また、C1側の接点がQより右にあり、C2側の接点がPより左にあるときも同様に矛盾する。
(iii)放物線が交わらないとき
どんな実数mに対しても、C1における傾きがmの接線は１本だけ定まるので、この接線のy切片をsとする。
同様に、C2における傾きがmの接線も１本だけ定まるので、この接線のy切片をtとする。
また、実数mに対し、関数f(m)をs-tで定めると、これは関数の値が一義的に定まる(well-definedである)。
このとき、f(x)=0を満たすxに対し、それに対応するC1とC2の接線は傾きがxで等しくy切片も等しいのでこれは共通接線を意味する。
ここで、\( \displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}f(m) \)を考えると、m>0の範囲でsは単調減少しtは単調増加するので\( s\rightarrow \infty, t\rightarrow- \infty \) となり\(\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}f(m) = - \infty \)
同様にして\(\displaystyle \lim_{m\rightarrow -\infty}f(m) = - \infty \)
しかし２つの放物線の間を通る直線(図中の赤)を考え、この傾きをaとすると、s>tよりf(a)>0が成り立つ。よって、中間値の定理よりx<a,a<xの範囲に少なくとも１個ずつf(x)=0をみたすxが存在する。よって、共通接線は少なくとも２本存在する。・・・③
ここで、２つの放物線をC1:y=ax^2+bx+c, C2:y=dx^2+ex+f (a>0,d<0)とおき、f(α)=0だとすると、C1とC2は傾きがαの共通接線を持つ。
C1の接点のx座標をtとするとy'=2ax+bであるからα=2at+bよりt=(a-b)/2a
このとき接線の方程式はy-(at^2+bt+c)=α(x-t)
よってy=αx+(at^2+(α+b)t+c)
これがC2と接すればよいのでαx+(at^2+(α+b)t+c)=dx^2+ex+fが重解を持てばよい。
αx+(at^2+(α+b)t+c)=dx^2+ex+f ⇔ dx^2+(e-α)x+(f-(at^2+(α+b)t+c))=0よりこの判別式をDとすると
(e-α)^2-4d(f-(at^2+(α+b)t+c))=0
これはαに関する二次方程式なのでαの実数解は最大で２個、すなわち、f(α)=0の実数解は最大で２個であるから、２つの放物線の共通接線は最大でも２本である。・・・④
③④より、共通接線は２本存在する。
